زنگ‌تفریح تصادفی

 زنگ‌تفریح‌های پربازدید
 آرشيو
 
 حدس کولاتز
حدس کولاتززنگ تفريح رياضي
زنگ تفریح شماره ۱۷۲
 
 
در دنیای ریاضیات مساله‌هایی وجود دارند که حل نشده‌اند. بعضی از این مساله‌ها آنقدر پیچیده‌اند که حتی فهمیدن آن‌ها نیاز به زمان و انرژی زیادی دارد. ولی برخی دیگر از این مساله‌ها بسیار ساده بوده و پیشنیاز چندانی ندارند. در این زنگ تفریح حدس کولاتز را بیان خواهیم کرد که در عین سادگی از سخت‌ترین مسائل ریاضی به حساب می‌آید. توجه کنید که برای بیان این حدس به چیزی غیر از چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) نیاز نداریم.

 

لوتر کولاتز به عنوان یکی از ریاضی‌دانان برجسته قرن گذشته (۱۹۹۰-۱۹۱۰) یک قاعده برای اعداد طراحی کرده است که ما نیز از آن پیروی خواهیم کرد. این قاعده به زبان ساده از این قرار است.

 

قاعده اول: وقتی به یک عدد زوج برخورد می‌کنید آن را بر ۲ تقسیم کنید. n/۲

قاعده دوم: وقتی با یک عدد فرد مواجه شدید آن عدد را در ۳ ضرب کرده سپس آن را با ۱ جمع کنید. ۳n+۱

و این کار را تا جایی که امکان دارد ادامه دهید. یک مثال ساده برای شروع بسیار مفید است. این‌گونه بهتر متوجه می‌شویم که کوالتز چه جیزی را حدس زده بود. عدد ۶ را در نظر بگیرید. ۶ زوج است، پس آن را بر ۲ تقسیم می‌کنیم. حاصل برابر است با ۳. عدد ۳ فرد است پس آن را ضرب در ۳ کرده و با ۱ جمع می‌کنیم (۳×۳)+۱=۱۰. دوباره به یک عدد زوج برمی‌خوریم. باز هم قاعده ۱ را برای آن بکار می‌بریم. اگر همچنان این کار را ادامه دهیم و قواهد ۱ و ۲ را در مورد اعداد به دست آمده به کار ببریم به اعداد زیر می‌رسیم.

 

 

به عنوان یک مثال دیگر عدد ۱۹ را در نظر بگیرید. با به کاربردن قواعد کولاتز به اعداد زیر می‌رسیم.

 

 

نکته مشترک دو مثال بالا آن است که در مورد هر دوی آن‌ها، بعد از تعداددی جمع و ضرب و تقسیم به اعداد ۴، ۲ و ۱ می‌رسیم و بعد از آن فقط همین اعداد تکرار می‌شوند.
حالا آماده شدیم تا حدس کولاتز را به طور دقیق بیان کنیم.
حدس کولاتز: عدد طبیعی n را فرض کنید. ابتدا قواعد زیر را برای n و سپس برای همه اعدادی که با استفاده از قواعد زیر به دست می‌آیند، اعمال کنید. (دقیقا همان کاری که در بالا برای ۶ و ۱۹ انجام دادیم.)

قاعده اول:‌ وقتی به یک عدد زوج برخورد می‌کنید آن را بر ۲ تقسیم کنید. n/۲
قاعده دوم: وقتی با یک عدد فرد مواجه شدید آن عدد را در ۳ ضرب کرده سپس آن را با ۱ جمع کنید. ۳n+۱

حدس کولاتز این است که، پس از استفاده از قواعد بالا به دفعات کافی، باید به عدد ۱ برسیم.

شاید در نگاه اول این حدس برای شما بسیار ساده به نظر بیاید. ولی همچنان که می‌دانید نام‌ش یک حدس است. یعنی باید سعی کنید یا آن را اثبات کنید و یا آن را با مثالی ردّ کنید. شاید به این فکر بیافتید که چند عدد دیگر را برای حدس کولاتز امتحان کنید. حتما این کار را بکنید.

حال این رویّه را به کمک یک تابع و یک دنباله بیان می‌کنیم. تابع زیر را در نظر بگیرید.

 

 

حال برای عدد دلخواه n دنباله بازگشتی زیر را تعریف می‌کنیم.

 

 

کوچکترین عدد i را که ai مساوی یک باشد را زمان توقف عدد n می‌گویند. مثلا زمان توقف عدد ۶ برابر با ۷ است و زمان توقف ۱۹ برابر با ۱۹ است.
بیان حدس کولاتز با استفاده از دنباله بازگشتی بالا، این گونه است:
به ازای هر عدد طبیعی مانند n یکی از اعضای دنباله آن ۱ است.
اگر بتوانیم عددی بیابیم که دنباله آن عدد ۱ را نداشته باشد، آنگاه حدس کولاتز غلط خواهد بود. ریاضی‌دان برجسته پاول اردوش (۱۹۹۶-۱۹۱۳) در مورد این حدس گفت: ریاضیات ما هنوز آمادگی ندارد تا با چنین هیولایی روبه‌رو شود.

ریاضی‌دانان بسیاری سعی کردند تا این حدس را اثبات یا رد کنند، اما اکثر این تلاش‌ها بی نتیجه بود. بنابراین بعضی از آن‌ها تصمیم گرفتند تا با استفاده از رایانه دنباله‌های اعداد مختلف را حساب کنند تا شاید بتوانند عددی پیدا کنند که در حدس کولاتز صدق نکند. البته تا کنون این تلاش‌ها نیز بی ثمر بوده است. زیرا دنباله همه اعدادی که تا به حال محاسبه شده شامل ۱ است، یعنی در حدس کولاتز صدق می‌کند. برای مثال چند نمونه از این اعداد را ذکر می‌کنیم.

یک مثال بسیار ساده برای آنکه ببینیم این حدس چندان هم ساده نیست، عدد ۲۷ است. سعی کنید تا دنباله این عدد را محاسبه کنید. این کار زمان و انرژی زیادی از شما خواهد گرفت، زیرا برای رسیدن به اولین عدد ۱ در دنباله این عدد باید ۱۱۱ مرحله محاسبه کنید. نکته جالب توجه در مورد ۲۷ این است که دنباله این عدد تا ۹۲۳۲ بالا می‌رود و سپس با سیری تقریبا نزولی به ۱ می‌رسد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

اگر تعداد مراحل محاسبه را روی محور افقی و عدد به دست آمده در آن مرحله را روی محور عمودی قرار دهیم این نمودار به دست می‌آید.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

در یک پروژه تحقیقاتی همه اعداد کمتر از ۱۰۰ میلیون برای حدس کولاتز بررسی شدند. عددی که طولانی‌ترین زمان توقف را داشت ۶۳،۷۲۸،۱۲۷ بود که زمان توقف آن ۹۴۹ است. در یک پژوهش دیگر برای اعداد کوچکتر از ۱۰ میلیارد مشخص شد که طولانی‌ترین زمان توقف برای عدد 9,780,657,631 با ۱۱۳۲ مرحله است. اصولا کوتاه‌ترین زمان‌های توقف برای توان‌های مختلف ۲ است. مثلا برای عدد ۱۰۲۴، کافی است برای این عدد ۱۰ بار از قاعده اول استفاده کنید تا به عدد ۱ برسید.عدد ۱۰۲۴ برابر است با ‍۲۱۰ در حالت کلی برای هر عدد به شکل ۲t زمان توقف برابر با t است.

شاید در نگاه اول به نظر برسد که زمان توقف اعداد مختلف کاملا نا منظم و بی‌قاعده است. البته فعلا همینطور است. یعنی هنوز قاعده‌ای کلی برای زمان توقف اعداد وجود ندارد. ولی با مشاهده نمودارهای زمان توقف، متوجه می‌شویم نظم و آرایشی خاص در زمان‌های توقف وجود دارد.

این نمودار زمان توقف برای اعداد ۱ تا ۹۹۹۹ را نشان می‌دهد. اعداد مورد نظر روی محور افقی و زمان‌های توقف روی محور عمودی قرار دارند.

 

 

 

این نمودار زمان توقف برای اعداد ۱ تا ۱۰ میلیون را نشان می‌دهد. مانند نمودار قبل اعداد بر محور افقی و زمان‌ها توقف بر محور عمودی قرار دارند.

 

 

 

 

حدس کولاتز از جنبه‌های دیگری نیز بررسی شده‌ است که در زنگ تفریح‌های بعدی به آن‌ها خواهیم پرداخت.
 


بیشتر بخوانید:

 

حدس کولاتز (ویکی‌پدیا)


اعداد صحیح


Lothar Collatz


Lothar Conjecture


تولد یک قضیه

 

1395/2/8Copyright ©2016 المپیاد ریاضیلينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  1528
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  1528