زنگ‌تفریح تصادفی

 زنگ‌تفریح‌های پربازدید
 آرشيو
 
 نظریه اعداد
نظریه اعدادزنگ تفريح رياضي
زنگ تفریح شماره‌ی ۱۸۰

 

 برای عده‌ای هیچ زیبایی بهتر از ریاضیات پیدا نشده. ریاضیدان به دنیای اعداد نگاه می‌کند و بدون اینکه قضاوتی در مورد موضوع داشته باشد، فراتر از  کاربرد اعداد به اعداد نگاه می‌کند. مثلا ۶، ۲۸ و ۴۹۶ به چیزی بیش از حاوی داده‌های مفید تبدیل می‌شوند. اعداد مستقل از کاربردشان، کارکترهای جذابی پیدا می‌کنند و روابط ریاضی‌شان بیانگر پیچیدگی سیستم بزرگی طبیعت بنیادی خود سیستم است.  مطالعه‌ی آن روابط گاهی ظریف و دور از دسترس، نظریه اعداد نامیده‌ می‌شود، که گاهی با نام حسابان شناخته شده. نظریه پردازان اعداد ویژگی‌های اعداد صحیح را بررسی می‌کنند. اعدادی که مثلا به صورت ۱-، ۰، ۱، ۲ و غیره می‌شناسید. آنطور که ریاضیدانان به دنبال کشف ارتباط ریاضیاتی عجیب  و غیرمنتظره هستند، بخشی نظری و بخشی تجربی ست. 

 

 

 

چه نوع روابطی؟ خب، در واقع ما اعداد صحیح را بر اساس روابطشان به انواع مختلف عدد دسته بندی می‌کنیم. البته، اعداد فرد، که نمی‌توانند به عدد دیگری تقسیم شوند، و اعداد زوج که می‌توانند. اعداد مربع داریم که از ضرب عددی در خودش به دست می‌آید. برای مثال، دو ضربدر دو و غیره. بنابراین یک در یک که می‌شود یک، و ۹۹ در ۹۹ که می‌شود ۹۸۰۱. ما مثال‌هایی چون ۲۲ یا ۳۲ یا ۹۹۲ را داریم.  بگذارید نمونه دیگری از این مثال‌ها درست کنیم. در برخی حالت‌ها می‌توانیم اعداد مربع را با هم جمع کنیم تا مربع عدد دیگری به دست آوریم که به سه گانه‌ی فیثاغورث (Pythagorean triple) معروف است و در قضیه فیثاغورث می‌گنجد (a۲+b۲=c۲). مثلا، ۳۲۲۲یا همان، ۳، ۴ و ۵.  نظریه اعداد درست مانند سوالاتی که در مورد اعداد مطرح می‌کنیم، شامل آنالیز چنین روابط ریاضیاتی می‌شود. ولی واقعاً نظریه‌ی اعداد چیست؟ چه چیزی فرمول بندی می‌شود تا چیزی به اثبات برسد؟ و چرا سوالات ریاضیاتی طی قرن‌ها بی پاسخ مانده‌اند.

 

سوالات در نظریه اعداد

پس دنیای ریاضی انواع و اقسام گونه‌های عددی را دسته بندی می‌کند که هرکدام ویژگی‌های خودشان را دارند. ریاضیدانان نظریه‌هایی را فرمول بندی  می‌کنند که روابط بین اعداد و گروه‌های اعداد مشخص شود. نظریه‌هایشان را در قالب اصول تعریف می‌کنند (حالت‌های که پیش فرض درست هستند) و قضیه‌ها (حالت‌هایی که براساس قضیه‌های دیگر یا اصول هستند.) اولین قدم در ساختن یک نظریه‌ی درخشان ریاضیاتی سوالی است نظری درباره‌ی روابط اعداد. برای مثال، آیا از جمع دو مکعب، یک مکعب به دست می‌آید؟ بر می‌گردیم به سه گانه‌ی فیثاغورث. این سه گانه‌های سه عدد مانند (۳،۴،۵)، در معادله‌ی فیثاغورث حل می‌شوند. ولی در مورد a۳+b۳=c۳ 

 

چطور؟ ژان پییر فرما، ریاضیدان، همین سوال را در مورد مکعب‌ها مطرح کرد و در سال ۱۶۳۷ ادعا کرد که اثباتی ریاضیاتی برای آن یافته که خط به خط   منطق سختگیرانه‌ای دارد و نشان داد که فراتر از هر شبهه‌ای که خیر! جمع دو مکعب، مکعب نخواهد داد. این اثبات را آخرین قضیه فرما (Fermat's Last Theorem) می‌نامیم. متاسفانه بجای نوشتن کُل اثبات نوشت:«اثبات فوق العاده ای دارم که نشان از این گزاره دارد: این حاشیه بسیار باریک‌تر از آن  است که اینجا بنویسم.»

 

 

 

 

بیش از سه قرن و نیم، ریاضیدانان تلاش کردند قضیه‌ی فرما را دوباره کشف کنند. علت این انگیزه چه بود؟ هیچ! حفظ غرور آکادمیک و عشق خالص و انتزاعی به ریاضیات. سپس در سال ۱۹۹۳، با هدف ریاضیات محاسباتی کشف نشده در زمان فرما، ریاضیدان انگلیسی اندرو ویلز (Andrew Wiles) توانست این قضیه‌ی ۳۵۶ ساله را حل کند. متخصصین به بررسی ادامه دادند تا به پاسخ یک سوال برسند: آیا واقعاً فرما در عصر قبل از رایانه، اثباتی داشته یا اشتباه کرده؟

 

 سوالات دیگر در نظریه اعداد مرتبط با الگوهای درک شده یا نظری در اعداد با گروه‌های اعداد هستند. همگی با دشوارترین جنبه‌ی تفکر ذهن هوشمند شروع می‌شود: تشخیص الگو. ژوزف سیلورمن (Joseph H. Siverman) پنج اصل اساسی در نظریه اعداد قائل می‌داند:

 

جمع آوری داده های انتزاعی یا ریاضیاتی

 آزمایش داده ها و جستجو برای الگوها یا روابط

 فرمول بندی فرمول مزدوج یا ترکیب (معمولا به شکل معادله) برای توضیح این الگوها یا روابط

 به آزمون گذاشتن ترکیب با داده‌های اضافه

 اثباتی که نشان از درست بودن ترکیب داشته باشد. اثبات باید با اصول شناخته شده شروع شود و با نتیجه ی مطلوب به پایان برسد.

 

از این روز، آخرین قضیه فرما، واقعاً ترکیبی بود برای ۳۵۶ سال و انتظار در سال ۱۹۹۳ به پایان رسید. بقیه موارد مانند پابات هرم‌های بینهایت اقلیدوس (که اثبات می‌کند اعداد فرد بیشمار هستند)، مدلی بنیادی از استدلال ریاضیات تا ۳۰۰ پیش از میلاد بود. هنوز هم دیگر ترکیبیات نظریه اعداد جدید و قدیم، بدون اثبات باقی مانده اند. اعداد به اندازه‌ی درک انسان نامحدود هستند، پس نظریه اعداد و زیرمجموعه های این حوزه از ریاضیات همچنان برای ذهن عاشقان ریاضیات فریبنده هستند. مسائل قدیمی ممکن است رد شوند ولی مسائل جدید و ترکیبیات پیچیده تر مطرح خواهند شد. 

 

 

تعدادی از کاربردها

برای بیشتر بخش‌ها، نظریه اعداد حوزه‌ای انتزاعی در ریاضیات است ولی کاربردهایش در حوزه هایی چون رمزنگاری عملی است که اعداد کُدهای بسیار امن تولید می‌کنند. دیگر زمینه‌های کاربردی اطلاعات دیجیتال، پردازش، محاسبات رایانه‌ای، آکوستیک و بلورشناسی ست.


 منبع:

 

How Stuff Works

Number Theory- WIKI

رمزنگاری کلید عمومی

آشنایی با رمزنگاری

 

 

1395/8/29لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد رياضي

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

     

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  877
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  877