اصلاً پیدا کردن اعداد اول بزرگ به چه دردی می‌خورد؟
به‌تازگی، بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده به‌وسیله‌ی نرم‌افزار جستجوگر اینترنتی اعداد اول مِرسِن کشف شد. این عدد اول تازه کشف‌شده عبارت است از ۱ـ۲۷۷٫۲۳۲٫۹۱۷ و ۲۳٫۲۴۹٫۴۲۵ رقم دارد. در ادامه با ما همراه باشید تا سری به دنیای شگفت‌انگیز اعداد اول بزنیم و ببینیم که این عدد طولانی چگونه به‌دست آمده و چرا این‌قدر جالب توجه است.
اعداد اول
ریاضی‌دانان به اعداد اول به‌عنوان اتم‌های دنیای ریاضی یا حتی گاهی سنگ‌های قیمتی نگاه می‌کنند. اقلیدس، ریاضی‌دان یونانی و پدر علم هندسه، نخستین کسی بود که اعداد اول را تعریف کرد:
- عدد اول عددی است که فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر باشد. یعنی اعداد اول هیچ مقسوم‌علیه یا شمارنده‌ی دیگری به‌جز ۱ و خودشان ندارند. بی‌نهایت عدد اول وجود دارد (۲,۳,...,n). اقلیدس ثابت کرد که چون اعداد اول بر هیچ عددی کوچک‌تر از n بخش‌پذیر نیستند، پس همیشه باید عدد اولی بزرگ‌تر از بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده وجود داشته باشد.
بنابراین، ریاضی‌دانان همواره به‌دنبال روش‌های کشف اعداد اول بوده‌اند. اِراتوستِن، ریاضی‌دان یونانی دوران اسکندر، الگوریتم ساده‌ای اختراع کرد که همه‌ی اعداد اولِ بین دو عدد معلوم را پیدا می‌کند. مثلا اگر می‌خواهید اعداد اولِ بین ۱ تا ۱۰۰ را پیدا کنید، باید همه‌ی اعداد را در جدولی بنویسید. بلافاصله عدد ۱ را خط بزنید، چون نه اول است و نه مرکب. سپس دور عدد ۲ خط بکشید و همه‌ی مضرب‌هایش را خط بزنید. اما خود عدد ۲ نباید خط بخورد. حالا به سراغ اولین عدد خط‌نخورده‌ی بعد از ۲ بروید و همه‌ی مضرب‌هایش را خط بزنید. این کار را تا جایی ادامه دهید که فقط اعدادی باقی بمانند که مضرب هیچ عدد دیگری نباشند. البته این روش درصورتی‌که بازه‌ی بین دو عدد بزرگ باشد، غیرکاربردی است.
به این ترتیب بود که ساخت الگوریتم‌های کاربردی‌ترِ شناسایی اعداد اول به یکی از دغدغه‌های ریاضی‌دانان تبدیل شد.
مارین مِرسِن
سال‌ها پس از اِراتوستِن، مارین مِرسِن، عالم الهیات و ریاضی‌دان فرانسوی، در اواخر قرن شانزدهم میلادی موفق به کشف فرمول جدیدی شد. مِرسِن گرایشات کاتولیکی داشت، اما با این‌حال معتقد بود که مذهب باید پذیرای حقایق علمی به‌روز باشد.
وی که به‌دنبال راه‌حلی برای پیداکردن اعداد اول بود، فرمول Mn= 2n – 1 را کشف کرد. به اعداد حاصل از این فرمول اعداد اول مِرسِن گفته می‌شود. بزرگ‌ترین عدد اول تازه کشف‌شده نیز حاصل همین فرمول است و به‌صورت M۷۷۲۳۲۹۱۷ نوشته می‌شود. یعنی عدد ۲ را باید ۷۷ میلیون و ۲۳۲ هزار و ۹۱۷ هزار بار در خودش ضرب و سپس منهای ۱ کنید تا به بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده برسید. این عدد اول تازه کشف‌شده حدود یک میلیون رقم بزرگ‌تر از رکورد قبلی است و به‌تنهایی چندین هزار صفحه را پر می‌کند.
نرم‌افزار اعداد اول مِرسِن
بزرگ‌ترین عدد اول تازه شناخته‌شده پنجاهمین عدد اول از نوع مِرسِن و شانزدهمین عدد اول کشف‌شده به‌وسیله‌ی نرم‌افزار جستوگر اینترنتی اعداد اول مِرسِن است. این نرم‌افزار بخشی از یک پروژه‌ی تحقیقاتی موسوم به GIMPS محسوب می‌شود که از سال ۱۹۹۶ آغاز شد. داوطلبان می‌توانند این نرم‌افزار را به‌صورت رایگان دانلود و نصب کنند و هر رایانه‌ای که خوش‌شانس باشد و بتواند بزرگ‌ترین عدد اول بعدی را شکار کنند، جایزه‌ی نقدی به کاربر رایانه‌ی برنده تعلق خواهد گرفت. جایزه‌ی سه‌هزار دلاری کشف اخیر نیز به جاناتان پِیس، مهندس برق ۵۱ ساله‌ی ساکن ایالت تِنِسی در آمریکا، اهدا شد که از ۱۴ سال پیش نرم‌افزار اعداد اول مِرسِن را نصب کرده بود و انتظار چنین روزی را می‌کشید.
اهمیت اعداد اول
حتما می‌پرسید که این همه تلاش برای کشف اعداد اول چه اهمیتی دارد؟ این اعداد درواقع تا قرن نوزدهم کاربرد خاصی نداشتند و جست‌وجوی اعداد اول صرفا تلاشی محاسباتی بود. اما در قرن نوزدهم، به‌ویژه در دوران جنگ جهانی، نیاز شدیدی به حفظ محرمانه‌ی اطلاعات به‌وجود آمد. هریک از سران جنگ سعی داشتند تا پیام‌ها و اسناد محرمانه‌ی ارتش کشورشان به هیچ قیمتی به‌دست ارتش رقیب نیفتد. بنابراین لازم بود که سیستم‌های امنیتی پیچیده‌تر شوند تا هکرها نتوانند با نفوذ به سیستم به اطلاعات ردوبدل‌شده دست پیدا کنند. کارشناسان رمزنگاری دریافتند که با ضرب دو عدد اول بزرگ در هم می‌توان الگوریتم‌های پیچیده‌ای نوشت که به‌سادگی قابل نفوذ نیستند، زیرا پیداکردن دو عدد اولِ ضرب‌شده در هم از روی حاصل‌ضرب‌شان فرایند معکوس فوق‌العاده پیچیده‌ای است.
خلاصه اینکه هزاران سال طول کشید تا بشر توانست یک کاربرد واقعی برای اعداد اول پیدا کند. درحال حاضر کاربرد اعداد اول فقط به دنیای رایانه محدود است و این اعداد هنوز در فضای غیرمجازی کاربرد خاصی ندارند، مگر برای زنجره‌ها! جالب است بدانید که اعداد اول را می‌توانید در چرخه‌ی زندگی برخی انواع زَنجَره‌ها مشاهده کنید. زَنجَره حشره‌ی کوچکی شبیه ملخ است که ۱۵۰۰ گونه‌ی متنوع دارد. گونه‌ای از زَنجَره‌ها که به زَنجَره‌های دوره‌ای معروف‌اند، هر ۷، ۱۳ یا ۱۷ سال از زیر خاک بیرون می‌آیند. یعنی دقیقا در فواصلی که از لحاظ مدت بر اعداد اول استوارند. از زَنجَره‌ها که بگذریم، زندگی روزمره‌ی ما انسان‌ها مستقیماً با اعداد اول سروکاری ندارد، اما خدمتی را که اعداد اول به عرصه‌ی رمزنگاری و ارتقای سیستم‌های امنیت اطلاعات کرده‌اند، نباید بی‌اهمیت دانست.